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Konstruktionen nur mit dem Zirkel (Mascheroni-Konstruktionen)

 

Jede geometrische Konstruktion, die mit Zirkel und Lineal ausführbar ist, lässt sich auch allein mit dem Zirkel ausführen.

In Konstruktionen sucht man zeichnerisch Punkte. Wenn wir also ein Dreieck konstruieren, heißt es also: Finde die drei Eckpunkte des Dreiecks.

Die folgenden Zeichenflächen sollen verdeutlichen, wie man letztlich alle Grundkonstruktionen nur mit dem Zirkel  ausführen kann. Wir wollen mit einfachen Aufgaben beginnen:

 

Konstruktion ganzzahliger Vielfache einer Strecke

Gezeigt wird, wie man eine Strecke verdoppelt und verdreifacht. Auf dieselbe Weise kann man natürlich beliebig weiter vervielfachen.

 

Konstruktion von Wurzeln aus ganzen Zahlen

Gezeigt wird, wie man von einer Längeneinheit ausgehend auf Strecken mit Längen kommt, die den Quadratwurzeln ganzer Zahlen entsprechen.

Auf diese Weise lässt sich jede beliebige Quadratwurzel aus einer ganzen Zahl nur mit dem Zirkel konstruieren.

 

Einbeschreiben eines Quadrates in einen Kreis

Hier wird gezeigt, wie man nur mit dem Zirkel auf einem Kreis vier Punkte findet, die ein Quadrat bilden. Dieses Problem stellte Napoleon seinerzeit und Mascheroni lieferte die Lösung.

 

Halbierung einer Strecke 

Eine erste der Grundkonstruktionen. Wie findet man den Mittelpunkt einer Strecke, wenn nur ein Zirkel zur Verfügung steht? Hier ist es zu sehen.

 

Teilung einer Strecke im Verhältnis 1:2 (Dritteln der Strecke)

Man kann das auch Dritteln einer Strecke nennen. Mit diesem Prinzip kann man über den Vielfachpunkt Vn den n-ten Teil einer Strecke bilden.

Wenn man anschließend Tn m mal vervielfacht ist prinzipiell jede rationale Zahl m:n als Streckenlänge auf diese Weise herzustellen.

 

Ermittlung des Lotfußpunktes von einem Punkt auf eine Gerade

Das Fällen eines Lotes nur mit dem Zirkel besteht in der Ermittlung des Lotfußpunktes. Wie das funktioniert, zeigt die Konstruktion.

Sie gehört zu den klassischen Grundkonstruktionen.

 

Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks aus der Hypotenuse und einer gegebenen Kathetenlänge

Gegeben ist die Hypotenuse des Dreiecks sowie eine Kathetenlänge. Die Konstruktion zeigt, wie man nur mit dem Zirkel den dritten Eckpunkt des Dreieck

finden kann.

 

Umkreis eines gleichschenkligen Dreiecks

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC. Nur mit dem Zirkel soll der Umkreismittelpunkt (und damit der Umkreis) gefunden werden.

Die Konstruktion zeigt, wie die funktioniert. Ein Beweis für die Richtigkeit wird hier noch nicht gegeben.

 

Konstruktion des Schnittpunktes zweier Geraden

Vielleicht denkt jetzt so mancher, dass der Schnittpunkt zweier Geraden doch schon vorhanden ist, wenn die Geraden gegeben sind. Dies ist aber nicht so,

wenn von den Geraden jeweils nur zwei Punkte gegeben sind und man nur einen Zirkel verwenden darf.

Dann ist doch eine recht aufwändige Konstruktion erforderlich. Man kann sie in der Zeichenfläche schrittweise verfolgen.

 

Umkreis eines beliebigen Dreiecks

Für ein beliebiges Dreieck wird nur mit dem Zirkel der Umkreismittelpunkt bestimmt.

 

Schnitt eines Kreises mit einer Geraden (1. Fall: Der Mittelpunkt des Kreises liegt nicht auf der Geraden)

Eine vorletzte grundlegende Konstruktion. Sie zeigt, wie man die Schnittpunkte eines Kreises mit einer Geraden nur mit dem Zirkel findet,

wenn der Kreismittelpunkt nicht auf der Geraden liegt.

 

Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks aus zwei Katheten

Aus zwei gegebenen Kathetenlängen wird nur mit dem Zirkel die Länge der Hypotenuse bestimmt.

 

 

wird bestimmt bald fortgesetzt...  :-)

 

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